Κεφάλαιο 10
Το Θεώρημα Gauss-Bonnet

Σύνοψη
Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet αποτελεί ένα από τα πιο σημαντικά (αν όχι το πιο σημαντικό) αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των επιφανειών. Μέσω του θεωρήματος αυτού, αναδεικνύεται μια απρόσμενη και βαθιά σχέση μεταξύ τοπικών ποσοτήτων μιας επιφάνειας, όπως η καμπυλότητα Gauss και η γεωδαισιακή καμπυλότητα και της τοπολογίας της επιφάνειας (ολική έννοια). Επιπλέον, το θεώρημα αυτό έχει σημαντικές γενικεύσεις σε μεγαλύτερες διαστάσεις, δίνοντας ώθηση στη γεωμετρία και τοπολογία του εικοστού αιώνα. Το Θεώρημα των Gauss - Bonnet διατυπώνεται σε δύο εκδοχές, μια τοπική και μια ολική. Η τοπική εκδοχή αφορά κανονικές περιοχές οι οποίες είναι απλές (δηλαδή ομοιομορφικές με έναν κλειστό δίσκο) και μικρές (δηλαδή βρίσκονται στην εικόνα μιας τοπικής παραμέτρησης της επιφάνειας). Η ολική εκδοχή του θεωρήματος αφορά οποιαδήποτε κανονική περιοχή σε μια επιφάνεια και ανάγεται μέσω μιας διαδικασίας ῾῾τεμαχισμού᾿᾿ της περιοχής αυτής, σε απλές και μικρές περιοχές, ώστε να εφαρμοστεί η τοπική εκδοχή του θεωρήματος Gauss - Bonnet. Η διαδικασία αυτή χρησιμοποιεί την έννοια της τριγωνοποίησης μιας επιφάνειας, όπου εδώ εισάγεται μια σημαντική τοπολογική αναλλοίωτη, η χαρακτηριστική των Euler - Poincaré.

Η τριγωνοποίηση μιας επιφάνειας είναι μια μη τετριμμένη μαθηματική διαδικασία και μας οδηγεί στον σημαντικό κλάδο των μαθηματικών, την αλγεβρική τοπολογία. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η παρουσίαση του θεωρήματος των Gauss - Bonnet και κάποιων σημαντικών εφαρμογών που προκύπτουν από αυτό. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [4], [5], [8], [9] και [10].

Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός Λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, Γραμμική Άλγεβρα, Διαφορικές Εξισώσεις.

Πριν διατυπώσουμε την πρώτη εκδοχή του θεωρήματος Gauss - Bonnet, χρειαζόμαστε να θυμίσουμε από την ανάλυση, την έννοια του ολοκληρώματος μιας πραγματικής συνάρτησης επί ενός ανοικτού χωρίου (βλ. για παράδειγμα [7]), προσαρμοσμένη στην περίπτωση των επιφανειών.

΄Εστω M ένα τμήμα μιας κανονικής επιφάνειας με παραμέτρηση X : U ⊂ ℝ2 → X(U) ⊂ M, X(u,υ) = (x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ)) και έστω f : M → ℝ μια πραγματική συνάρτηση. (Στην περίπτωσή μας θα είναι f = K : M → ℝ, η καμπυλότητα Gauss της M). Θέλουμε να ορίσουμε την έννοια ενός ολοκληρώματος της μορφής ∫ MfdA, όπου dA το στοιχειώδες εμβαδό στο U. Γνωρίζουμε ότι

∥Xu × Xv ∥2 = ∥Xu ∥2∥Xv ∥2(1- cos2θ) 2 2 2 2 = ∥Xu ∥ ∥Xv ∥ ⟨Xu, Xv⟩ = EG - F ,
συνεπώς dA = ∥Xu × Xυ∥dudυ = √EG-----F-2dudυ. Εναλλακτικά, έχουμε ότι
∘ (-------)----(-------)----(-------)-- ∂-(x,y-) 2 ∂-(x,-z) 2 ∂-(y,z) 2 dA = ∂ (u,v ) + ∂ (u, v) + ∂ (u, v) ,
όπου ∂-(x,y) ∂ (u,v) είναι μια από τις τρείς ελάσσονες Ιακωβιανές ορίζουσες του 3 × 2 πίνακα [dX]t = (Xu,Xυ). Θεωρούμε τη σύνθεση fˆ= f ∘ X : U ⊂ ℝ2 → ℝ και ορίζουμε
∫ ∫ ∫ f dA = fˆ(u, v)∥Xu × Xv ∥dudv. M U
Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από την παραμέτρηση X.

Το παρακάτω θεώρημα, το οποίο είχε αποδειχθεί από τον Gauss, μπορούμε να πούμε ότι αποτελεί τον πρόγονο του θεωρήματος Gauss - Bonnet. Αφορά γεωδαισιακά τρίγωνα σε μια επιφάνεια, δηλαδή τρίγωνα των οποίων οι πλευρές είναι τμήματα γεωδαισιακών καμπυλών.

Θεώρημα 10.1: (Gauss) ΄Εστω T ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε μια κανονική επιφάνεια M με εσωτερικές γωνίες α,β,γ. Αν K είναι η καμπυλότητα Gauss της M, τότε

∫ KdA = (α + β + γ)- π. T

Σχήμα 10.1: Παράλληλα διανυσματικά πεδία.

Παρατήρηση. Είναι προφανές ότι για την περίπτωση όπου M = ℝ2 ⊂ ℝ3 τότε K = 0, απ΄ όπου προκύπτει η γνωστή ισότητα α + β + γ = π για επίπεδο τρίγωνο. Συνεπώς, η καμπυλότητα ῾῾δημιουργεί μια μη Ευκλείδεια γεωμετρία᾿᾿. Πριν διατυπώσουμε την τοπική εκδοχή του θεωρήματος Gauss - Bonnet θα χρειαστούμε κάποιες προκαταρκτικές έννοιες.

Προκαταρκτική ορολογία. ΄Ολες οι παρακάτω έννοιες είναι δυνατόν να οριστούν αυστηρά. Εδώ δίνουμε απλώς μια διαισθητική περιγραφή.
1) Προσανατολίσιμη επιφάνεια. Την έννοια αυτή την έχουμε χρησιμοποιήσει αρκετές φορές σε προηγούμενο κεφάλαιο. Σημαίνει ότι η επιφάνεια M επιδέχεται μια απεικόνιση Gauss N : M → S2.

2) Απλά συνεκτικό χωρίο του ℝ3. Είναι ένα συνεκτικό υποσύνολο M του ℝ3 το οποίο χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα ότι δεν έχει οπές. Ισοδύναμα, κάθε απλή, και κλειστή καμπύλη του M μπορεί να ῾῾συρρικνωθεί᾿᾿ σε ένα σημείο. Για παράδειγμα, η σφαίρα M = S2 είναι ένα απλά συνεκτικό σύνολο, ενώ ο δακτύλιος (torus) M = T2 δεν είναι απλά συνεκτικό.


Σχήμα 10.2: Μη απλά συνεκτικό χωρίο.

3) Απλή καμπύλη. Είναι μια καμπύλη η οποία δεν έχει αυτοτομές.


Σχήμα 10.3: Απλή και μη απλή καμπύλη.

4) Κλειστή καμπύλη. Είναι μια καμπύλη γ : [a,b] → M, τέτοια ώστε γ(a) = γ(b).


Σχήμα 10.4: Κλειστή και ανοικτή καμπύλη.

5) Θετικά προσανατολισμένη καμπύλη σε επιφάνεια. Ο προσανατολισμός αναφέρεται ως προς τη συγκεκριμένη παραμέτρηση X της επιφάνειας. Σχετίζεται με τον δείκτη στροφής (rotation index) της καμπύλης, έννοια που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει. Για τις ανάγκες μας αρκεί η έννοια του προσανατολισμού καμπύλης όπως έχει χρησιμοποιηθεί στη διανυσματική ανάλυση (π.χ. Θεώρημα Stokes κ.λπ). Εκεί, μια καμπύλη γ σε μια επιφάνεια M ονομάζεται θετικά προσανατολισμένη όταν εφαρμόζοντας τον κανόνα των τριών δακτύλων το κάθετο διάνυσμα N της επιφάνειας δείχνει στην κατεύθυνση του αντίχειρα.

6) Περίοδος της καμπύλης. Δηλώνει πόσες φορές διαγράφουμε το ίχνος της καμπύλης.

Θεώρημα 10.2: (Gauss - Bonnet, πρώτη τοπική εκδοχή)
΄Εστω M μια προσανατολίσιμη κανονική επιφάνεια με τοπική παραμέτρηση X : U → M, τέτοια ώστε το σύνολο X(U) να είναι απλά συνεκτικό. ΄Εστω γ : ℝ → M μια κανονική, απλή, κλειστή και θετικά προσανατολισμένη καμπύλη στο X(U), με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. ΄Εστω Int(γ) ⊂ X(U) ⊂ M το εσωτερικό της γ και kg : ℝ → ℝ η γεωδαισιακή καμπυλότητά της. Αν K είναι η καμπυλότητα Gauss της M και L ∈ ℝ+ η περίοδος της γ, τότε ισχύει

∫ L ∫ kg(s)ds = 2π - KdA. 0 Int(γ)

Απόδειξη. ΄Εστω {Z,W} μια ορθοκανονική βάση του εφαπτόμενου χώρου TX(u,υ)M, η οποία προκύπτει από τη βάση {Xu,Xυ}, μέσω της διαδικασίας Gram-Schmidt. Κατά μήκος της γ : ℝ → X(U) ορίζουμε τη συνάρτηση θ : ℝ → ℝ, για την οποία το διάνυσμα ταχύτητας ˙γ(s) ικανοποιεί την σχέση

γ˙(s) = cosθ(s)Z(s)+ sinθ(s)W (s).
Τότε έχουμε ότι
N × ˙γ = N × (cosθZ + sinθW ) = cosθ(N × Z )+ sin θ(N × W ) = cosθW - sinθZ.
Για τη δεύτερη παράγωγο ?γ έχουμε:
?γ = ˙θ(- sin θZ + cosθW ) + cosθZ˙+ sin θW˙,
οπότε η γεωδαιασιακή καμπυλότητα δίνεται ως
κg = ⟨N × ˙γ,?γ⟩ = ˙θ⟨- sinθZ + cos θW , - sinθZ + cos θW ⟩ +⟨- sin θZ + cosθW , cosθZ˙+ sin θW˙⟩ = ˙θ - ⟨Z,W˙ ⟩.
Ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση γεωδαιασιακής καμπυλότητας κg : ℝ → ℝ για μια περίοδο, θα πάρουμε ότι
∫ ∫ ∫ L L ˙ L ˙ 0 κg(s)ds = 0 θ(s)ds- 0 ⟨Z (s),W (s)⟩ds ∫ L = θ(L )- θ(0)- ⟨Z (s),W ˙ (s)⟩ds 0 ∫ L = 2π - ⟨Z (s),W ˙ (s)⟩ds. 0
΄Εστω α = X-1 ∘γ : ℝ → U η αντίστροφη εικόνα της καμπύλης γ στην απλά συνεκτική περιοχή U. Η καμπύλη α είναι απλή, κλειστή και θετικά ορισμένη. Χρησιμοποιώντας τη σχέση ⟨Zu,Wυ⟩-⟨Zu,Wu⟩ = K√EG----F-2 (βλ. Λήμμα 6.1) και το Θεώρημα του Green ([7]), προκύπτει ότι
∫ L ∫ ⟨Z(s), ˙W (s)⟩ds = ⟨Z,u˙Wu + ˙vWv ⟩ds 0 γ ∫ = ⟨Z,Wu ⟩du + ⟨Z,Wv ⟩dv ∫α = (⟨Z, Wv ⟩u - ⟨Z,Wu ⟩v)dudv Int(α) ∫ = (⟨Zu,Wv ⟩+ ⟨Z, Wuv⟩ - ⟨Zv,Wu ⟩- ⟨Z,Wvu ⟩)dudv ∫Int(α) = (⟨Z ,W ⟩- ⟨Z ,W ⟩)dudv Int(α) u v v u ∫ ∘ --------- = K EG - F 2dudv ∫Int(α) = Int(γ)KdA.
▄

Πόρισμα 10.1: ΄Εστω γ : ℝ → ℝ2 μια κανονική, απλή, κλειστή και θετικά προσανατολισμένη (επίπεδη) καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Αν L ∈ ℝ+ είναι η περίοδος της γ και kg : ℝ → ℝ η γεωδαισιακή της καμπυλότητα, τότε

∫ L kg(s)ds = 2 π. 0

Ορισμός 10.1: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια. Μια συνεχής περιοδική συνάρτηση γ : ℝ → M με περίοδο L ∈ ℝ+ αποτελεί παραμέτρηση μιας κατά τμήματα κανονικής καμπύλης (ή ενός καμπυλόγραμμου πολυγώνου) στην M, εάν υπάρχει μια διαμέριση

0 = t0 < t1 < t2 < ⋅⋅⋅ < tn-1 < tn = L
του διαστήματος [0,L], τέτοια ώστε να ισχύουν τα εξής:
  1. γ(t) = γ(t*), εάν και μόνο εάν (t - t*) = kL, k ∈ ℤ,
  2. η συνάρτηση γ είναι διαφορίσιμη σε κάθε ανοικτό διάστημα (t0,t1),(t1,t2),…,(tn-1,tn).
  3. οι μονόπλευρες παράγωγοι
    - γ(t)- γ (ti) + γ (t)- γ (ti) γ˙ (ti) = lim- ---t--t----, γ˙ (ti) = lim +---t--t---- t→ti i t→t i i
    υπάρχουν, είναι μη μηδενικές και δεν είναι παράλληλες (ως διανύσματα).

Για μια τέτοια καμπύλη ορίζονται οι εσωτερικές γωνίες ως οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες σε κάθε κορυφή της καμπύλης. Αντίστοιχα, ορίζονται οι εξωτερικές γωνίες.

Θεώρημα 10.3: (Gauss - Bonnet, δεύτερη τοπική εκδοχή)
΄Εστω M μια κανονική προσανατολίσιμη επιφάνεια με τοπική παραμέτρηση X : U → M, τέτοια ώστε το σύνολο X(U) ⊂ M να είναι συνεκτικό και απλά συνεκτικό. ΄Εστω γ : ℝ → M μια κατά τμήματα κανονική, απλή, κλειστή και θετικά προσανατολισμένη καμπύλη στην M, με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. ΄Εστω Int(γ) το εσωτερικό της γ και kg : ℝ → ℝ η γεωδαισιακή καμπυλότητα της γ, σε κάθε κανονικό (λείο) τμήμα της. Αν L ∈ ℝ+ είναι η περίοδος της γ, K η καμπυλότητα Gauss της M και α1,…,αn οι εσωτερικές γωνίες των κορυφών της γ, τότε ισχύει

∫ L ∑n ∫ kg(s)ds = αi - (n - 2)π - KdA. 0 i=1 Int(γ)

Απόδειξη. ΄Εστω {Z,W} μια ορθοκανονική βάση, η οποία προκύπτει από τη {Xu,Xυ} μέσω της διαδικασίας Gram-Schmidt. ΄Εστω D το διακριτό υποσύνολο του ℝ, το οποίο αποτελείται από τις ακμές του πολυγώνου γ(ℝ). Κατά μήκος των κανονικών τόξων της καμπύλης γ : ℝ → X(U), ορίζουμε τη συνάρτηση θ : ℝ \ D → ℝ, έτσι ώστε το μοναδιαίο διάνυσμα ταχύτητας γ˙ να ικανοποιεί τη σχέση

γ˙(s) = cosθ(s)Z(s)+ sinθ(s)W (s).
Στην απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος είδαμε ότι σε αυτή την περίπτωση η γεωδαισιακή καμπυλότητα δίνεται ως κg(s) = θ˙ -⟨Z,Ẇ⟩ και το ολοκλήρωμα αυτής για μια περίοδο είναι
∫ L ∫ L ∫ L κg(s)ds = ˙θ(s)ds- ⟨Z (s),W˙ (s)⟩ds. 0 0 0
Από το Θεώρημα του Green θα έχουμε ότι
∫ ∫ L⟨Z (s),W˙(s)⟩ds = KdA. 0 Int(γ)
Το ολοκλήρωμα της παραγώγου θ˙ ισούται με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε κάθε ομαλό τόξο, δηλαδή
∫ ∫ L ˙ ∑n si ˙ 0 θ(s)ds = s θ(s)ds. i=1 i-1
Το ολοκλήρωμα αυτό μετράει τη μεταβολή της γωνίας κατά μήκος κάθε τόξου, ως προς την ορθοκανονική βάση {Z,W}. Σε κάθε ακμή του πολυγώνου, η εφαπτομένη στρέφεται κατά γωνία (π-αi), όπου αi είναι η αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Σε μια πλήρη διαδρομή κατά μήκος της καμπύλης, το άθροισμα της μεταβολής των γωνιών κατά μήκος των τόξων και των αντίστοιχων μεταβολών στις ακμές, ισούται με 2π. Συνεπώς, προκύπτει ότι
∫ L ∑n 2π = θ˙(s)ds+ (π - αi). 0 i=1
Από τις παραπάνω ισότητες, προκύπτει το ζητούμενο. ▄

Παρατήρηση. Αν οι εσωτερικές γωνίες αντικατασταθούν με τις εξωτερικές γωνίες, τότε το δεξί μέλος της ισότητας στο Θεώρημα 10.3 παίρνει τη μορφή

∑n ∫ 2π - αi - KdA. i=1 D

Το θεώρημα αυτό έχει ενδιαφέροντα πορίσματα όπως θα δούμε στη συνέχεια.

Πόρισμα 10.2: (Θεώρημα Gauss). Αν γ : ℝ → M είναι ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε μια επιφάνεια M με εσωτερικές γωνίες α1,α2,α3, τότε

∫ KdA = α1 + α2 + α3 - π, T
όπου T το εσωτερικό του τριγώνου και K η καμπυλότητα Gauss της M.

Απόδειξη. Στο προηγούμενο θεώρημα είναι n = 3 και σε κάθε τμήμα της γ η γεωδαισιακή καμπυλότητα είναι kg = 0. ▄

Πόρισμα 10.3: ΄Εστω ένα κανονικό n-γωνο του επιπέδου, του οποίου οι ακμές είναι ευθύγραμμα τμήματα και με εσωτερικές του γωνίες α1,…,αn. Τότε ισχύει

n ∑ αi = (n - 2)π. i=1

Απόδειξη. Είναι K = 0 και kg = 0, άρα το αποτέλεσμα προκύπτει από το Θεώρημα 10.3. ▄

Πόρισμα 10.4: ΄Εστω D ένα καμπυλόγραμμο n-γωνο στην σφαίρα S2, του οποίου οι πλευρές είναι τόξα μέγιστων κύκλων (δηλαδή ένα γεωδαισιακό n-γωνο). Τότε ισχύει

∑n αi > (n - 2)π i=1

Απόδειξη. Είναι K = 1 για τη σφαίρα S2 και kg = 0, άρα από το Θεώρημα 10.3 προκύπτει ότι

n ∫ ∑ α = (n- 2)π + 1dA = (n - 2)π + Ε μβαδό(D ), i=1 i D
από όπου προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα. ▄

Πόρισμα 10.5: Το εμβαδό E ενός σφαιρικού τριγώνου με εσωτερικές γωνίες α,β,γ ισούται με α+β+γ-π.

Απόδειξη. Εφαρμόζουμε το Πόρισμα 10.2 για n = 3 και προκύπτει ότι α + β + γ = π + E, άρα E = α + β + γ - π. ▄

Η προηγούμενη σχέση για το εμβαδό σφαιρικού τριγώνου είναι χαρακτηριστική ισότητα της σφαιρικής (ή ελλειπτικής) γεωμετρίας. Θυμίζουμε ότι, αν το τρίγωνο είναι επίπεδο, τότε ισχύει α + β + γ = E.

Πόρισμα 10.6: Για ένα γεωδαισιακό n-γωνο της ψευδοσφαίρας (K = -1), ισχύει ότι

∑n αi < (n - 2)π. i=1
Συνεπώς, το εμβαδό E ενός n-γωνου της ψευδοσφαίρας ισούται με
E = (n - 2)π - α1 - α2 - ⋅⋅⋅- αn.
Για n = 3 προκύπτει η κλασική σχέση E = π-(α+β +γ), η οποία χαρακτηρίζει το εμβαδό ενός τριγώνου στην υπερβολική γεωμετρία.

Ερχόμαστε τώρα στην ολική εκδοχή του θεωρήματος Gauss - Bonnet. ΄Οπως και προηγουμένως, θα δώσουμε αρχικά κάποιες εξηγήσεις για την ορολογία που θα χρησιμοποιηθεί.

Προκαταρκτική ορολογία.
1) Συμπαγής επιφάνεια M είναι ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του ℝ3, δηλαδή η M περιέχεται σε μια μπάλα του ℝ3. Καμιά φορά χρησιμοποιείται στη βιβλιογραφία ο παραπλανητικός όρος ῾῾κλειστή επιφάνεια χωρίς σύνορο᾿᾿.

2) Αν f : M → ℝ είναι μια λεία συνάρτηση επί της συμπαγούς επιφάνειας (και όχι απλώς επί ενός τμήματος X(U) ⊂ M, όπου X : U → M μια τοπική παραμέτρηση), τότε είναι δυνατόν να οριστεί το ολοκλήρωμα ∫ MfdA. Δεν θα παρουσιάσουμε εδώ αυτή τη διαδικασία. Στην ειδική όμως περίπτωση, όπου η f : M → ℝ ικανοποιεί τη συνθήκη f|M\X(U) ≡ 0, μπορούμε να ορίσουμε

∫ ∫ ∫ M fdA = U f(X (u, v))∥Xu × Xv∥dudv.

3) Η πιο σημαντική έννοια είναι η χαρακτηριστική του Euler για μια τριγωνοποίηση μιας επιφάνειας. Μια τριγωνοποίηση (triangulation) μιας επιφάνειας M είναι μια κάλυψη της M με εικόνες τριγώνων, οι οποίες έχουν την εξής ιδιότητα: Αν δύο τρίγωνα τέμνονται, τότε η τομή τους είναι είτε μια κοινή ακμή, είτε μια κοινή κορυφή και μόνο.


Σχήμα 10.5: Η αριστερή κάλυψη μιας επιφάνειας αποτελεί μια τριγωνοποίηση, ενώ η δεξιά όχι.

Ισχύει το εξής:

Θεώρημα 10.4: Κάθε συμπαγής επιφάνεια επιδέχεται μια τριγωνοποίηση, με πεπερασμένο αριθμό τριγώνων.

΄Εστω K ο αριθμός των κορυφών, A ο αριθμός των ακμών και E ο αριθμός των εδρών μιας τριγωνοποίησης της συμπαγούς επιφάνειας M. Η χαρακτηριστική του Euler (ή των Euler - Poincaré) της M είναι ο αριθμός

X (M ) = E - A + K.

Παράδειγμα 10.1: Παρακάτω, δίνονται δύο διαφορετικές τριγωνοποιήσεις της σφαίρας. Για την πρώτη τριγωνοποίηση είναι K = 6,A = 12,E = 8, άρα X(S2) = K - A + E = 6 - 12 + 8 = 2. Για τη δεύτερη τριγωνοποίηση είναι K = 4,A = 6,E = 4, άρα X(S2) = 4 - 6 + 4 = 2.


Σχήμα 10.6: Τριγωνοποιήσεις της σφαίρας.

Το αποτέλεσμα δεν είναι τυχαίο. Πράγματι, ισχύει το εξής σημαντικό θεώρημα:

Θεώρημα 10.5: 1) Η χαρακτηριστική του Euler είναι ανεξάρτητη της τριγωνοποίησης της επιφάνειας.
2) Αν M,M′ είναι δύο ομοιομορφικές επιφάνειες, τότε X(M) = X(M′). Συνεπώς, η χαρακτηριστική του Euler είναι μια τοπολογική αναλλοίωτη.

Παρατηρήστε ότι στο παραπάνω παράδειγμα, οι δύο τριγωνοποιήσεις της σφαίρας έγιναν με τριγωνοποιήσεις, οι οποίες είναι ομοιομορφικές με ένα κυρτό πολύτοπο (γενίκευση του κανονικού πολυέδρου). Θυμίζουμε ότι γενικά για ένα κυρτό πολύτοπο ισχύει ο τύπος του Euler K + E = A + 2, ο οποίος μνημονεύεται για ευκολία με τη φράση ῾῾Κωνσταντίνος και Ελένη ΄Αγιοι και οι δύο᾿᾿.

Παράδειγμα 10.2: Για τον δακτύλιο (torus) T2 ισχύει X(T2) = 0. Αυτό είναι λίγο πιο δύσκολο να αποδειχθεί.

Θεώρημα 10.6: (Gauss - Bonnet, ολική εκδοχή)
΄Εστω M μια προσανατολίσιμη, συμπαγής, κανονική επιφάνεια του ℝ3, με καμπυλότητα Gauss K και χαρακτηριστική του Euler X(M). Τότε ισχύει

∫ M KdA = 2πX (M ).

Το αριστερό μέλος της παραπάνω ισότητας ονομάζεται ολική καμπυλότητα (total curvature) της M.

Απόδειξη. ΄Εστω T = {T1,…Tm} μια τριγωνοποιήση της επιφάνειας M, τέτοια ώστε κάθε Tk να είναι ένα γεωδαισιακό τρίγωνο, το οποίο να περιέχεται στην εικόνα Xk(Uk) της τοπικής παραμέτρησης Xk : Uk → M. Τότε το ολοκλήρωμα της καμπυλότητας Gauss K της M γράφεται ως

∫ m ∫ KdA = ∑ KdA, M Tk k=1
για κάθε Tk ∈ T. Σύμφωνα με το Θεώρημα 10.3 θα έχουμε ότι
∫ n∑k KdA = αki + (2 - nk)π, Tk i=1
για κάθε τρίγωνο Tk. Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι
∫ ∑m n∑k KdA = ((2 - nk)π + αki) M k=1 i=1 ∑m ∑nk = 2 πE - 2πA + αk1 k=1i=1 = 2 π(E - A + K ).
▄

Παράδειγμα 10.3: Για την σφαίρα S2 με K = 1 είδαμε ότι X(S2) = 2. Τότε από το Θεώρημα 10.6, προκύπτει ότι

2 ∫ Ε μβαδό(S ) = 2 KdA = 4π. S
Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτο, αλλά το ενδιαφέρον είναι ότι, αν παραμορφώσουμε την σφαίρα S2 κατά συνεχή τρόπο (δηλαδή προκύψει μια επιφάνεια M ομοιομορφική με την σφαίρα S2), τότε ισχύει
∫ KdA = 4π. M
Με άλλα λόγια, η καμπυλότητα της νέας επιφάνειας M αλλάζει, αλλά η ολική καμπυλότητα παραμένει σταθερή.

Θα κλείσουμε με τη διατύπωση του σημαντικού θεωρήματος ταξινόμησης των προσανατολίσιμων συμπαγών επιφανειών.

Ορισμός 10.2: ΄Ενα χερούλι (handle) σε μια επιφάνεια M είναι μια κανονική περιοχή H ⊂ M ομοιομορφική με έναν κλειστό (πεπερασμένο) κυκλικό κύλινδρο και τέτοια ώστε το σύνολο M \ H να είναι συνεκτικό. ΄Εστω g ∈ ℕ0. Μια σφαίρα με g το πλήθος χερούλια είναι μια επιφάνεια M, η οποία περιέχει g το πλήθος ξένα ανά δύο χερούλια H1,…,Hg, έτσι ώστε το σύνολο M \(H1 ∪⋅⋅⋅∪Hg), να είναι ομοιομορφικό με μια σφαίρα, από την οποία έχουν αφαιρεθεί 2g το πλήθος ξένες ανά δύο γεωδαισιακές μπάλλες.

Σημείωση. 1) Μια γεωδαισιακή μπάλλα (geodesic ball) είναι το σύνολο Bϵp(p) = expp(Bϵp(0)) (βλ. σχετικά με εκθετική απεικόνιση Κεφάλαιο 9).
2) Ο αριθμός g των χερουλιών ισούται με τον αριθμό των οπών μιας επιφάνειας M και ονομάζεται γένος (genus) της M.

Θεώρημα 10.7: (Ταξινόμηση των προσανατολίσιμων συμπαγών επιφανειών)
Κάθε προσανατολίσιμη συμπαγής και συνεκτική επιφάνεια είναι ομοιομορφική με μια σφαίρα με g ≥ 0 χερούλια και της οποίας η χαρακτηριστική του Euler ισούται με 2 - 2g. Ειδικότερα:

  1. Δύο προσανατολίσιμες συμπαγείς επιφάνειες είναι ομοιομορφικές εάν και μόνο εάν έχουν την ίδια χαρακτηριστική του Euler.
  2. Η σφαίρα είναι η μόνη προσανατολίσιμη συμπαγής επιφάνεια με θετική χαρακτηριστική του Euler.
  3. Ο δακτύλιος (torus) είναι η μόνη προσανατολίσιμη συμπαγής επιφάνεια με χαρακτηριστική του Euler ίση με το μηδέν.

Παρατήρηση. Στον ℝ3 δεν υπάρχουν συμπαγείς επιφάνειες οι οποίες να μην είναι προσανατολίσιμες.

ϒπάρχουν πολλές πηγές όπου μπορεί να αναζητηθεί η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος, ανάλογα με τις λεπτομέρειες που επιθυμεί να δει ο αναγνώστης. Για παράδειγμα, [2], [3], [6], [11].

10.1 Λυμένα παραδείγματα

Σημειώνουμε ότι οι παρακάτω λύσεις είναι σε κάποια σημεία συνοπτικές.

Παράδειγμα 10.4: Να βρεθεί η ολική καμπυλότητα του ελλειψοειδούς

x2-+ y2-+ z2-= 1. α2 β2 γ2

Λύση

Γνωρίζουμε ότι ολική καμπυλότητα της σφαίρας ∫ S2KdA ισούται με 4π. Επίσης, γνωρίζουμε ότι το ελλειψοειδές είναι επιφάνεια ομοιομορφική με την σφαίρα και ότι οι ομοιομορφικές επιφάνειες έχουν την ίδια ολική καμπυλότητα. Από το Θεώρημα 10.6, η ολική καμπυλότητα κάθε κλειστής επιφάνειας M δίνεται από τη σχέση
∫ KdA = 2πX (M ), M
όπου X(M) η χαρακτηριστική του Euler. Επομένως, η ολική καμπυλότητα του ελλειψοειδούς ισούται επίσης με 4π.

Παράδειγμα 10.5: ΄Εστω M μια συμπαγής και συνεκτική επιφάνεια γένους g ≥ 1. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα σημείο της M στο οποίο η καμπυλότητα Gauss να μηδενίζεται.

Λύση

Από το Θεώρημα Gauss - Bonnet (ολική εκδοχή) έχουμε ότι
∫ KdA = 2πX (M ) = 4π(1- g) ≤ 0. M
Λόγω της συμπάγειας της M, υπάρχει ένα σημείο p ∈ M, τέτοιο ώστε K(p) > 0. Συνεπώς, λόγω της συνέχειας της K : M → ℝ, υπάρχει μια περιοχή U του p, έτσι ώστε K|U > 0. Επιπλέον, ισχυριζόμαστε ότι υπάρχει και ένα άλλο σημείο q ∈ M, ώστε K(q) < 0. Πράγματι, αν αυτό δεν συνέβαινε, τότε θα είχαμε
∫ ∫ 0 ≥ KdA ≥ KdA > 0, M U
άτοπο. Συνεπώς, λόγω της συνεκτικότητας της M, η συνεχής συνάρτηση K πρέπει να μηδενίζεται σε κάποιο σημείο της M.

Παράδειγμα 10.6: Θεωρούμε τον δακτύλιο (torus) T2 ως επιφάνεια εκ περιστροφής, η οποία προκύπτει περιστρέφοντας τον κύκλο (x - α)2 + z2 = r2 περί τον άξονα z:

T2 = {(x,y,z) : (x2 + y2 + z2 + α2 - r2)2 - 4α2(x2 + y2) = 0}.
Περιγράψτε μια παραμέτρηση του δακτυλίου T2, υπολογίστε την καμπυλότητα Gauss και επιβεβαιώστε αναλυτικά ότι ∫ T KdA = 0.

Λύση

Αρχικά παρατηρούμε ότι η τιμή του ολοκληρώματος προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα Gauss - Bonnet, επειδή για τον δακτύλιο, το γένος ισούται με g = 1. ΄Αρα X(T2) = 2 - 2g = 0, οπότε
∫ KdA = 2πX (T2) = 0. T
Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό και χωρίς τη χρήση του Θεωρήματος Gauss - Bonnet. Μια τοπική παραμέτρηση του δακτυλίου T2 είναι η
( ) X (u,v) = (α + rcos u)cosv,(α + rcosu) sinv,r sin u , 0 < u,v < 2π.
Με έναν υπολογισμό προκύπτει ότι τα θεμελιώδη ποσά πρώτης και δεύτερης τάξης είναι
E = r2, F = 0, G = (α + rcosu)2 e = r, f = 0, g = cosu (α + r cosu).
Συνεπώς, η καμπυλότητα Gauss K : T2 → ℝ είναι
2 K = eg---f---= ----cosu-----. EG - F 2 r(α + rcosu )
Το στοιχείο εμβαδού στον T2 είναι dA = √ -------2- EG - Fdudυ = r(α + r cosu)dudυ, άρα
∫ ∫ ∫ 2π 2π T2 KdA = 0 0 cos ududv = 0.

Παράδειγμα 10.7: Δώστε ένα παράδειγμα συνεκτικής επιφάνειας M, η οποία να περιέχει δύο σημεία, τα οποία να μην μπορούν να συνδεθούν με μια γεωδαισιακή. Ποιά είναι μια τοπολογική υπόθεση για τη M, ώστε να αποφεύγεται αυτό το πρόβλημα;

Λύση

΄Εστω Π ένα επίπεδο στον ℝ3 και p,q δύο σημεία του Π. Θεωρούμε ένα εσωτερικό σημείο r του ευθύγραμμου τμήματος pq. Τότε η επιφάνεια Π \{r}⊂ ℝ3 είναι το ζητούμενο παράδειγμα.

Η συνηθισμένη τοπολογική υπόθεση προκειμένου να αποφεύγεται το παραπάνω πρόβλημα είναι η πληρότητα της (M,d), όπου d : M × M → ℝ+ η συνάρτηση που επάγεται από τη μετρική της M. Το σημαντικό θεώρημα των Hopf - Rinow αναφέρει ότι η συνθήκη αυτή ισοδυναμεί με τα εξής:

  1. Για κάθε p ∈ M η εκθετική απεικόνιση expp : TpM → M ορίζεται σε όλον τον εφαπτόμενο χώρο TpM,
  2. Κάθε ζεύγος σημείων της M μπορεί να συνδεθεί με μια γεωδαισιακή καμπύλη που ελαχιστοποιεί το μήκος.
  3. Κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολο της M είναι συμπαγές.

Παράδειγμα 10.8: ΄Εστω M μια συμπαγής επιφάνεια, της οποίας η καμπυλότητα Gauss είναι παντού θετική. Αποδείξτε ότι η M είναι αμφιδιαφορική με την σφαίρα.

Λύση

Είναι K > 0 παντού, άρα ∫ MKdA > 0. Συνεπώς από το Θεώρημα Gauss - Bonnet είναι
∫ KdA = 4π (1 - g) > 0, M
από όπου προκύπτει ότι g < 1. Επειδή οι δυνατές τιμές του γένους g μιας επιφάνειας είναι g = 0,1,2,…, προκύπτει ότι g = 0, συνεπώς η M είναι αμφιδιαφορική με την σφαίρα. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Η κυλινδρική επιφάνεια ῾῾πούρο᾿᾿ είναι αμφιδιαφορική με την σφαίρα, αλλά στο κυλινδρικό της κομμάτι είναι K = 0.

Σχήμα 10.7: Επιφάνεια ῾῾πούρο᾿᾿.

Παράδειγμα 10.9: ΄Εστω M μια προσανατολίσιμη επιφάνεια με καμπυλότητα Gauss K ≤ 0 και έστω γ1,γ2 δύο γεωδαισιακές με αρχή ένα σημείο p ∈ M. Αποδείξτε ότι οι γ1,γ2 δεν μπορούν να ξανασυναντηθούν σε ένα σημείο q ∈ M, έτσι ώστε τα ίχνη τους να περικλείουν ένα απλά συνεκτικό χωρίο D της M.

Λύση

ϒποθέτουμε το αντίθετο του συμπεράσματος και έστω α1,α2 οι εξωτερικές γωνίες των σημείων τομής των γ1,γ2. Τότε από τη δεύτερη εκδοχή του τοπικού Θεωρήματος Gauss - Bonnet έχουμε ότι
∫ KdA = 2π - α1 - α2. D
Αλλά α1,α2 < π, συνεπώς α1 + α2 < 2π, οπότε 2π - α1 - α2 > 0. Επειδή όμως K ≤ 0 παντού, είναι ∫ DKdA ≤ 0, πράγμα άτοπο.

10.2 Ασκήσεις

1. ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ3 αμφιδιαφορική με τον τόρο. Δείξτε ότι υπάρχει ένα σημείο p ∈ M για το οποίο η καμπυλότητα Gauss K(p) είναι αρνητική.

2. ΄Εστω η κανονική επιφάνεια M του ℝ3 η οποία δίνεται ως

M = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 - z2 = 1 και - 1 < z < 1}.
ϒπολογίστε την τιμή του ολοκληρώματος
∫ KdA, M
όπου K είναι η καμπυλότητα Gauss της M.

3. Για r ∈ ℝ+ θεωρούμε την επιφάνεια Σr η οποία δίνεται ως

3 ∘ -2---2- 2 2 2 Σr = {(x,y,z) ∈ ℝ : z = cos x + y ,x + y < r,x,y > 0}.
ϒπολογίστε την τιμή του ολοκληρώματος
∫ KdA, Σr
όπου K η καμπυλότητα Gauss της Σr.

4. Για n ≥ 1 έστω Mn μια κανονική επιφάνεια του ℝ3 η οποία δίνεται ως

Mn = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 = (1+ z2n )2,0 < z < 1}.
ϒπολογίστε την τιμή του ολοκληρώματος
∫ M KdA, n
όπου K η καμπυλότητα Gauss της Mn.

5. ΄Εστω M μια προσανατολισμένη συμπαγής επιφάνεια του ℝ3, η οποία δεν είναι ομοιομορφική με μια σφαίρα. Αποδείξτε ότι η M περιέχει σημεία ελλειπτικά, υπερβολικά και σημεία στα οποία η καμπυλότητα Gauss είναι μηδέν.

6. ΄Εστω M μια προσανατολισμένη επιφάνεια του ℝ3 με καμπυλότητα Gauss K ≤ 0 παντού. ΄Εστω R ⊂ M ένα απλά συνεκτικό χωρίο, το σύνορο του οποίου είναι ένα γεωδαισιακό πολύγωνο. Αποδείξτε ότι το πολύγωνο αυτό έχει τουλάχιστον τρείς κορυφές.

7. ϒπολογίστε την καμπυλότητα Gauss K της επιφάνειας

M = {(x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 = cosh2z }
και υπολογίστε το ολοκλήρωμα
∫ KdA. M

Βιβλιογραφία

[1]   M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.

[2]   P. Andrews, The classifications of surfaces, Amer. Math. Monthly 95 (1988) 861-867.

[3]   M. A. Armstrong, Basic Topology, Mc Graw Hill, 1979

[4]   C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.

[5]   M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.

[6]   J. Gallier and D. Xu, A Guide to the Classification Theorem for Compact Surface, Springer, 2013

[7]   J. E. Marsden and M. J. Tromba, Vector Calculus, 6th ed., Macmillan Higher Edition, 2011. Μετάφραση 3ης εκδ. Dianusmatikc Logismc, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1992.

[8]   J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.

[9]   Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.

[10]   A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.

[11]   C. Thomassen, The Jordan - Schönffies theorem and the classification of surfaces, Amer. Math. Monthly 99 (1992) 116-131.